SIFAT OPERASI BINER

Sifat-sifat yang dimiliki oleh sebuah sistem aljabar nantinya ditentukan oleh sifat-sifat yang dimiliki oleh setiap operasi di dalam sistem aljabar tersebut. Berikut akan diuraikan sifat-sifat yang dapat dimiliki oleh sebuah operasi biner.
Misalkan  dan  adalah operasi biner. Operasi  dikatakan :
-. KOMUTATIF , jika a  b = b  a, untuk setiap a, b.
-. ASOSIATIF, jika (a  b)  c = a  (b  c), untuk setiap a, b, c.
-. Mempunyai :
IDENTITAS, jika terdapat e sedemikian hingga a  e = e  a = a, untuk setiap a.
IDENTITAS KIRI, jika terdapat e1 sedemikian hingga e1  a = a, untuk setiap a.
IDENTITAS KANAN, jika terdapat e2 sedemikian hingga a  e2 = a, untuk setiap
-. Mempunyai sifat INVERS, jika untuk setiap a terdapat a-1 sedemikian hingga a  a-1 = a-1  a = e, dimana e adalah elemen identitas untuk operasi . a-1 disebut invers dari elemen a.
-. DISTRIBUTIF terhadap operasi  , jika untuk setiap a, b, c berlaku a  (b  c ) = ( a  b)  (a  c) dan (b  c )  a = ( b  a)  (c  a).

Contoh 1.2.
Operasi biner penjumlahan biasa adalah sebuah operasi yang bersifat komutatif, karena untuk sembarang bilangan x dan y berlaku x+y = y+x. Operasi penjumlahan bersifat asosiatif, karena untuk sembarang x, y, z berlaku (x+y)+z = x+(y+z). Identitas untuk operasi penjumlahan adalah 0 (nol). Invers penjumlahan untuk sembarang bilangan p adalah –p, karena p+(-p)=0.

Contoh 1.3.
-. Operasi perkalian bersifat distributif terhadap operasi penjumlahan, karena untuk setiap bilangan a, b dan c berlaku a x (b+c) = (a x b) + (a x c) dan (b + c) x a = (b x a) + (c x a).
-. Operasi penjumlahan tidak bersifat distributif terhadap operasi perkalian, karena terdapat p, q dan r dimana p + (q x r)  (p + q) x (p + r). Sebagai contoh 2 + (3 x 4)  (2 + 3) x (2 + 4). 



Himpunan S dikatakan tertutup terhadap terhadap operasi biner  , jika untuk setiap a, b  S berlaku a  b  S

Contoh 1.4.
-. Himpunan bilangan bulat Z tertutup terhadap operasi penjumlahan biasa, karena untuk setiap x, y  Z berlaku x + y  Z.
-. Himpunan bilangan bulat Z tidak tertutup terhadap operasi pembagian biasa, karena terdapat 2, 3  Z dimana 2 : 3  Z. 

Soal Latihan 1.1.
1. Tunjukkan bahwa himpunan bilangan genap tertutup terhadap operasi penjumlahan.
2. Tunjukkan bahwa operasi penjumlahan bersifat asosiatif pada himpunan bilangan kelipatan 2.
3. Misalkan A adalah himpunan bilangan asli. Operasi biner  didefinisikan pada himpunan tersebut. Selidiki sifat asosiatif operasi biner yang didefinisikan sebagai berikut : [LIU]
a. a  b = a + b + 3.
b. a  b = a + b – 2ab.
c. a  b = a + 2b.
d. a  b = max (a,b).
4. Misalkan (A,) sebuah sistem aljabar dengan  operasi biner dimana untuk setiap a,b  A berlaku a  b = a. Tunjukkan bahwa  bersifat asosiatif. [LIU]
5. Operasi biner  didefinisikan pada himpunan C = {a, b, c, d, e} dalam tabel berikut :




a. Tentukan b  d, c  d dan (a  d)  c.
b. Apakah operasi  bersifat komutatif ?.
c. Tentukan (bila ada) elemen identitas untuk operasi .